Saturday, February 7, 2015

Thirteen Instructive Exercises for Positional Notations (Rus)

Знаменский В.С.
ТРИНАДЦАТЬ ПОУЧИТЕЛЬНЫХ УПРАЖНЕНИЙ ПО СИСТЕМАМ СЧИСЛЕНИЙ
(Информатика: Приложение к газете "Первое сентября". 1997. № 8. С.2.)

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.

Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.

Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления внизу справа от числа для десятичной системы счисления не ставится, а для остальных - ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т.е. 10 десятичное - это “десять”. Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть "один ноль в восьмеричной системе счисления"

Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число “n” носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как "10".

Рекомендации к выполнению упражнений:
1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.
2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.

2. Решите задачу "Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа" в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).

3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с "фиксированной запятой" в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:
0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625,

4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления.
1) 1996 , 2) 1A2B , 3)FFFF , 4) C87,543 , 5)D00,00E , 6) 110,101 .

5. Составить таблицу сложения в 8-ой системе (В таблице все числа записаны в 8-ой системе)
0 1 2 3 4 5 6 7
10 0+10= 1+10= 2+10= 3+10= 4+10= 5+10= 6+10= 7+10=
7 1+7= 2+7= 3+7= 4+7= 5+7= 6+7= 7+7=
6 2+6= 3+6= 4+6= 5+6= 6+6=
5 3+5= 4+5= 5+5=
4 4+4=


6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)
5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1+9 1+A 1+B 1+C 1+D 1+E 1+F
2 2+8 2+9 2+A 2+B 2+C 2+D 2+E 2+F
3 3+7 3+8 3+9 3+A 3+B 3+C 3+D 3+E 3+F
4 4+6 4+7 4+8 4+9 4+A 4+B 4+C 4+D 4+E 4+F
5 5+5 5+6 5+7 5+8 5+9 5+A 5+B 5+C 5+D 5+E 5+F
6 6+6 6+7 6+8 6+9 6+A 6+B 6+C 6+D 6+E 6+F
7 7+7 7+8 7+9 7+A 7+B 7+C 7+D 7+E 7+F
8 8+8 8+9 8+A 8+B 8+C 8+D 8+E 8+F
9 9+8 9+9 9+A 9+B 9+C 9+D 9+E 9+F
A A+9 A+A A+B A+C A+D A+E A+F
B B+A B+B B+C B+D B+E B+F
C C+B C+C C+D C+E C+F
D D+C D+D D+E D+F
E E+D E+E E+F
F F+E F+F

7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения "в столбец", известными Вам еще с начальной школы. FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятичную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:
"10-тичная ->", "16-ричная ->", "2-ичная ->", "8-ричная ->", "10-тичная"
В таблицу поместите следующие числа:
2, 8, 10, 16, 4, 64, 100, 256, 5, 65, 101, 257, 1024, 1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ичную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.
Результаты изобразите в таблице:
"16-ричная -> 10-тичная -> 8-ричная -> 2-ичная -> 16- ричная"
В таблицу поместите следующие числа:
F16 , FF16 , FFFF16 , 1016 , 10016 , 1000016.

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:
1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.
Примеры:
0,(3)=3/9=1/3
0,(15)=15/99=5/33
Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать "максимальную" цифру системы счисления.
Примеры:
0,(01001)2 =010012 /111112 =9/63=1/7 8
0,(1F)16 =1F16 /FF16 =31/(162 -1)
0,(21)3 =213 /223 =7/8
Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.
0,(1)2 , 0,(10) 2, 0,(1)3 , 0,(10) 3 , 0,(1)5 ,0,(10) 5 , 0,(1)8, 0,(10) 8 ,0,(1) , 0,(10) , 0,(1)16 , 0,(10)16 , 0,(2)3, 0,(20) 3 , 0,(4)5 , 0,(40) 5,0,(7)8 , 0,(70)8 , 0,(9) , 0,(90) , 0,(F)16, 0,(F0) 16.

12. Уже в средней школе обучают: Чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть, и отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятичную?

13. Используя правила умножения целых чисел “в столбик” возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.

No comments:

Post a Comment

Blogspot Blogs ❤️

My blogs

  1. Jigsaw Puzzle 🧩
  2. Fashioned Prints on Awesome Products 😵
  3. Math & Physics Tutor
  4. Good 🙅
  5. DrVita is Fake
  6. America's Views ✈
  7. ✌ TutorState 718-223-0228
  8. Optical Art - Optical illusions ✂✂✂
  9. ✡ Mountain Jews Wedding
  10. New York State Roadrunner Testosterones
  11. RastyrCom
  12. Физика ⚠️- Public Group
  13. Calculus Based Physics I
  14. Lenta Chel News ಊಊಊ
  15. Eugenia-2006
  16. Math, Physics, Statistics, Computer Science Tutor 📔
  17. Brooklyn Roads Lyrics 🌉
  18. Broadway NYC 🍎
  19. Hurried Activity ✌✌✌
  20. ⶌⶌⶌ Quick Road Trip Ideas
  21. Molecular Dynamics 🧬
  22. Gynecology ⚕️
  23. Toledo Photos 2013 ⛪️
  24. Mask Broadway ಊಊಊ
  25. Geometry, Trigonometry
  26. Federal Ukraine 🎄🇺🇦
  27. Private Tutor: Physics, Mathematics, Statistics. Brooklyn, Bay Ridge
  28. Purim ✡️
  29. NorilLag Норильлаг ❄️
  30. English Songs with Subtitles Песни с английскими субтитрами 🎵
  31. Kremlin PR Info 🪆
  32. Cordoba Pictures
  33. Broadway & 50th St 🏙️
  34. 347-307-7834 Chess School ♞♝♜♛♚♟♘♙♗♖♕♔
  35. New York
  36. Play Chess: 347-307-7834 ♞♝♜♛♚♟♘♙♗♖♕♔
  37. Kleinlife Chess Academy 347-307-7834 ♟️
  38. Физика
  39. Anti-Dictatura
  40. Glow in the Dark 👦🏿
  41. Optical Art 📀
  42. Chess Academy ♙♗♖♕ 347-307-7834
  43. General Astronomy 🔭
  44. Modern Prints on Awesome Products
  45. Rush Roadrunner Testosterone Appointment 🚘
  46. Barcelona Photos 2013
  47. E=mc² New York Physics Tutor: 718-223-0228
  48. Private Tutor 🔡
  49. Images for Madrid 🏙️
  50. E=mc² New York City Physics Tutors 🧲
  51. Men's Business Style 👔
  52. ☕ Drinking Games
  53. Near Me
  54. Philadelphia Chess Club: 347-307-7834 ♟️
  55. Norilsk City 🥶
  56. Русское оружие - Russian Weapons
  57. Seville Photos 🏛 NO8DO
  58. Chess Lessons: 347-307-7834
  59. Seville Pictures
  60. 347-307-7834 Chess Academy
  61. Tutor: Physics, Mathematics, Statistics 🔺
  62. Purim 🕍
  63. Антидиктатура 🗳️
  64. ⶌⶌⶌ Speedy Road Test Ny
  65. Shop of Psychedelic Prints on Amazing Products
  66. Physics Tutor: (347)770-1877
  67. Shoe Shine 🌟
  68. Trip to Las Vegas 2007
  69. ⶌⶌⶌ Fast Romantics
  70. Фотографии Барселоны
  71. ∰ PHYSICS OLYMPIADS 🧲
  72. T&P 📚🔨
  73. இ Elite Albums
  74. Chess Classes: 347-307-7834 ♟️
  75. Sandals Vacation 🌴
  76. V=⅓πd³ Brooklyn Math Tutor 🤖
  77. General Physics 🛰
  78. ⶌⶌⶌ Rush Roadrunner Testosterone NY
  79. Roadrunner Testosterone New York State 🗽
  80. Astronomy - Cosmology ☀️🌗🌘🌑🌒🌓🌔🌕...
  81. Chess Club: 347-307-7834
  82. Лето будет!
  83. 347-307-7834 Chess Academy in Kleinlife
  84. Play Chess: 347-307-7834 ♟️
  85. Science News SN
  86. Granada Photos
  87. Haircuts ✂️
  88. Chess Academy at Kleinlife:34...
  89. Girona Photos 🏠
  90. OpArt - Optical Illusions ಊಊಊ
  91. Science Posters 🧪
  92. Alite Album ❤️
  93. ☈ Bay Ridge
  94. Word of the Day
  95. Chess♙♗♖♕ 347-307-7834
  96. Bible Gateway 🕮
  97. New York State Roadrunner Testosterone
  98. Chess Academy: 347-307-7834
  99. Illusions ಊಊಊ
  100. Brooklyn Physics Tutor: (347)770-1877
  101. Calculus Based Physics
  102. ⶌⶌⶌ Roadrunner Testosterone Scheduling NY 🏴󠁵󠁳󠁮󠁹󠁿
  103. Balkars
  104. Shoe Shine Times Square
  105. Chess Academy in Kleinlife: 347-307-7834 ♞♝♜♛♚♟♘♙♗♖♕♔
  106. E=mc² Physics Olympiad 🧑‍🔬
  107. ✌ LuxLimCom
  108. Rockefeller Center
  109. ⶌⶌⶌ Roadrunner Testosterone New York City.
  110. Speedy Roadrunner Testosterone New York State
  111. Physics, Mathematics, Statistics
  112. Prints Shop
  113. Chess Academy: 347-307-7834 ♟️
  114. Astrophysics, Cosmology, and Astronomy ☀️
  115. Astronomy - Astrophysics 🔭
  116. Prints Shop Midtown East
  117. ∰ Physics Concepts Expansions
  118. Schedule Roadrunner Testosterone 😲
  119. Private Tutor:⚛️ Physics, Mathematics, Statistics Brooklyn, Bay Ridge
  120. Vintage Prints on Awesome Products
  121. Fast Roadrunner Testosterone
  122. LuxLim
  123. Environmental Science 🕰️
  124. 1627 Broadway - Shoe Shine NYC: (212) 307-1840
  125. History ✄✄✄